نگاشت پیوسته (در توپولوژی) (Continuous Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت پیوسته (در توپولوژی) (Continuous Map) :
در توپولوژی، یک نگاشت
\[ f:X\to Y \]بین دو فضای توپولوژیکی پیوسته (continuous) است اگر وارون هر مجموعه ی باز در
\[ Y \]، یک مجموعه ی باز در
\[ X \]باشد. این تعریف معادل تعریف
\[ \epsilon-\delta \]در فضاهای متری است و هسته ی اصلی توپولوژی را تشکیل می دهد.
پیوستگی خاصیت موضعی است: یک تابع در یک نقطه
\[ x \]پیوسته است اگر به ازای هر همسایگی
\[ V \]از
\[ f(x) \]، یک همسایگی
\[ U \]از
\[ x \]وجود داشته باشد که
\[ f(U)\subset V \].
ترکیب دو نگاشت پیوسته، پیوسته است. تصویر یک فضای فشرده تحت یک نگاشت پیوسته، فشرده است. تصویر یک فضای همبند تحت یک نگاشت پیوسته، همبند است. این قضایای اساسی توپولوژی هستند.
در آنالیز تابعی، عملگرهای خطی کراندار (bounded linear operators) بین فضاهای نرم دار پیوسته هستند. در حقیقت، برای عملگرهای خطی، کرانداری معادل پیوستگی است.
همه ی توابعی که در حسابان با آن ها سروکار داریم (چندجمله ای ها، توابع نمایی، مثلثاتی) بر روی دامنه ی خود پیوسته هستند، مگر نقاطی که مخرج صفر می شود یا نقاط مرزی.
\[ f^{-1}(V) \text{ باز در } X \quad \forall V \text{ باز در } Y \]✏️ مثال:
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]با
\[ f(x)=x^3-x \]پیوسته است. تابع
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]روی
\[ \mathbb{R}\setminus\{0\} \]پیوسته است. تابع پله ای
\[ f(x)=\lfloor x\rfloor \]در نقاط صحیح ناپیوسته است.
