نگاشت پادمتقارن (Antisymmetric Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت پادمتقارن (Antisymmetric Map) :

نگاشت پادمتقارن (antisymmetric یا skew-symmetric) برای فرم های دوخطی و چندخطی تعریف می شود. یک فرم دوخطی

\[ B:V\times V\to F \]

پادمتقارن است اگر

\[ B(x,y) = -B(y,x) \]

برای همه ی

\[ x,y\in V \]

. در نتیجه

\[ B(x,x)=0 \]

اگر مشخصه میدان با ۲ متفاوت باشد.

در جبر خطی، ماتریس پادمتقارن (skew-symmetric) ماتریسی است که

\[ A^T = -A \]

. این ماتریس ها در قطر اصلی صفر دارند و در فیزیک (میدان های الکترومغناطیسی، تانسور میدان) ظاهر می شوند.

در هندسه دیفرانسیل، فرم های دیفرانسیلی (differential forms) خاصیت پادمتقارنی دارند. برای مثال، فرم

\[ dx\wedge dy = - dy\wedge dx \]

.

ضرب خارجی (cross product) در

\[ \mathbb{R}^3 \]

یک عملگر دوخطی پادمتقارن است:

\[ a\times b = - b\times a \]

.

در جبر لی، کروشه لی (Lie bracket)

\[ [X,Y] \]

معمولا پادمتقارن است:

\[ [X,Y] = -[Y,X] \]

.

\[ B(x,y) = -B(y,x) \quad,\quad A^T = -A \]

✏️ مثال: فرم سیمپلکتیک (symplectic form) مانند

\[ \omega(x,y)=x_1y_2-x_2y_1 \]

پادمتقارن است. ضرب خارجی در

\[ \mathbb{R}^3 \]

:

\[ u\times v = - v\times u \]

.