نگاشت متقارن (Symmetric Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت متقارن (Symmetric Map) :

نگاشت متقارن (symmetric map) معمولا در مورد نگاشت های چندخطی (multilinear) یا فرم های دوخطی (bilinear) به کار می رود. یک فرم دوخطی

\[ B:V\times V\to F \]

متقارن است اگر

\[ B(x,y)=B(y,x) \]

برای همه ی

\[ x,y\in V \]

.

در جبر خطی، ضرب داخلی (inner product) یک فرم دوخطی متقارن است (در حالت حقیقی). ماتریس متناظر با یک فرم متقارن، ماتریس متقارن است (

\[ A^T=A \]

).

در آنالیز تابعی، یک عملگر خطی

\[ T \]

روی فضای هیلبرت را متقارن (symmetric) می نامیم اگر

\[ \langle Tx,y\rangle = \langle x,Ty\rangle \]

برای همه ی

\[ x,y \]

در دامنه. عملگرهای خودالحاق (self-adjoint) تعمیم این مفهوم هستند.

در ریاضیات گسسته، یک تابع

\[ f(x,y) \]

را متقارن می گویند اگر

\[ f(x,y)=f(y,x) \]

. همچنین چندجمله ای های متقارن (symmetric polynomials) مانند

\[ x^2+y^2 \]

تحت جابجایی متغیرها ناوردا هستند.

در فیزیک، تانسورهای متقارن (مانند تانسور تنش) اهمیت دارند.

\[ B(x,y) = B(y,x) \quad,\quad T^* = T \quad(\text{برای عملگرهای خودالحاق}) \]

✏️ مثال: ضرب داخلی استاندارد در

\[ \mathbb{R}^n \]

متقارن است.

\[ B(x,y)=x_1y_2 + x_2y_1 \]

متقارن است.

\[ B(x,y)=x_1y_1 - x_2y_2 \]

نیز متقارن است.