نگاشت جمعی (Additive Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت جمعی (Additive Map) :
نگاشت جمعی (additive map) نگاشتی است که عمل جمع را حفظ می کند. یعنی
\[ f(x+y)=f(x)+f(y) \]برای همه ی
\[ x,y \]در دامنه. این مفهوم در جبر خطی و آنالیز تابعی بسیار مهم است. هر نگاشت خطی (linear map) جمعی است، اما عکس آن لزوما درست نیست (چون همگنی نیاز دارد).
در گروه های آبلی، یک همومورفیسم گروهی دقیقا یک نگاشت جمعی است. برای مثال،
\[ f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} \]با
\[ f(n)=2n \]جمعی است. همچنین
\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]با
\[ f(x)=kx \]جمعی و خطی است.
توابع جمعی غیرخطی هم وجود دارند، اما تحت شرایط ملایمی (مانند پیوستگی یا کرانداری موضعی) ناچارا خطی می شوند. معادله ی تابعی کوشی (Cauchy functional equation)
\[ f(x+y)=f(x)+f(y) \]بدون شرط اضافی جواب های غیرخطی دارد (با استفاده از پایه هامل و توابع غیرقابل اندازه گیری).
در آنالیز، عملگرهای انتگرالی مانند
\[ \int (f+g) = \int f + \int g \]جمعی هستند. مشتق گیری نیز جمعی است:
\[ (f+g)' = f'+g' \].
در فیزیک، اصل برهم نهی (superposition) در سیستم های خطی به جمعی بودن مربوط است.
\[ f(x+y) = f(x) + f(y) \quad,\quad \frac{d}{dx}(f+g) = \frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx} \]✏️ مثال:
\[ f(x)=5x \]جمعی است.
\[ f(x)=x^2 \]جمعی نیست (زیرا
\[ (x+y)^2\neq x^2+y^2 \]). نگاشت
\[ f(x)=\lfloor x\rfloor \]جمعی نیست.
