نگاشت ضربی (Multiplicative Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت ضربی (Multiplicative Map) :
نگاشت ضربی (multiplicative map) نگاشتی است که عمل ضرب را حفظ می کند. یعنی اگر
\[ f:X\to Y \]باشد که
\[ X \]و
\[ Y \]دارای عمل ضرب (مثلا در یک گروه یا حلقه) هستند، آن گاه
\[ f(xy)=f(x)f(y) \]برای همه ی
\[ x,y \].
در نظریه گروه ها، یک همومورفیسم گروهی (group homomorphism) ضربی است:
\[ f(ab)=f(a)f(b) \]. در حلقه ها، معمولا دو شرط جمعی و ضربی داریم. توابع نمایی
\[ e^{x+y}=e^x e^y \]یک نمونه ی مهم از نگاشت ضربی از گروه جمعی
\[ \mathbb{R} \]به گروه ضربی
\[ \mathbb{R}^+ \]هستند.
در آنالیز، تابع
\[ f(x)=x^a \]روی اعداد مثبت ضربی است:
\[ (xy)^a = x^a y^a \]. همچنین تابع دترمینان
\[ \det: GL(n,\mathbb{R})\to \mathbb{R}^\times \]یک همومورفیسم ضربی است (ضرب ماتریس ها به ضرب دترمینان ها تبدیل می شود).
در نظریه اعداد، توابع ضربی (multiplicative functions) مانند تابع موبیوس
\[ \mu(n) \]و تابع فی اویلر
\[ \varphi(n) \]برای اعداد طبیعی تعریف می شوند: اگر
\[ \gcd(m,n)=1 \]، آن گاه
\[ f(mn)=f(m)f(n) \].
در فیزیک، تبدیل های مقیاسی (scale transformations) معمولا ضربی هستند.
\[ f(xy) = f(x)f(y) \quad,\quad \det(AB)=\det A \det B \]✏️ مثال:
\[ f(x)=|x| \]روی
\[ \mathbb{R}^\times \]ضربی است:
\[ |xy|=|x||y| \]. تابع
\[ f(x)=\ln x \]ضربی نیست (چرا که
\[ \ln(xy)=\ln x+\ln y \]جمعی است).
