نگاشت همانند (Isometric Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت همانند (Isometric Map) :

نگاشت همانند (isometric map) یا ایزومتری (isometry) یک نگاشت بین فضاهای متری (معمولا منیفلدهای ریمانی) است که فاصله ها را حفظ می کند. یعنی اگر

\[ f:(X,d_X)\to (Y,d_Y) \]

باشد، آن گاه

\[ d_Y(f(x_1),f(x_2)) = d_X(x_1,x_2) \]

برای همه ی

\[ x_1,x_2\in X \]

.

در هندسه ریمانی، یک ایزومتری بین دو منیفلد ریمانی

\[ (M,g) \]

و

\[ (N,h) \]

یک دی فئومورفیسم (diffeomorphism) است که مترها را حفظ می کند:

\[ f^*h = g \]

. این بدان معناست که طول بردارهای مماس و زاویه ها تحت

\[ f \]

ثابت می مانند.

ایزومتری ها مهم ترین نگاشت ها در هندسه هستند زیرا ساختار متریک را حفظ می کنند. آن ها گروهی از تقارن های فضا را تشکیل می دهند (گروه ایزومتری). برای مثال، در فضای اقلیدسی

\[ \mathbb{R}^n \]

، ایزومتری ها شامل انتقال ها، چرخش ها، بازتاب ها و ترکیب آن ها هستند.

در آنالیز تابعی، یک ایزومتری خطی بین فضاهای نرم دار (مانند فضاهای هیلبرت) یک نگاشت خطی یک به یک و نرم افزاست (

\[ \|Tx\|=\|x\| \]

). این نگاشت ها ساختار خطی و نرم را حفظ می کنند.

در نظریه ی فضاهای متری، هر ایزومتری لزوما یک توپولوژی (همسان ریختی) است و پیوسته و معکوس پذیر است.

\[ d_Y(f(x),f(y)) = d_X(x,y) \quad,\quad f^*g = g \]

✏️ مثال: چرخش به اندازه

\[ \theta \]

در صفحه یک ایزومتری است. ترجمه

\[ x\mapsto x+v \]

نیز ایزومتری است. روی کره، دوران ها (چرخش ها) ایزومتری هستند.