نگاشت چندجمله ای (Polynomial Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت چندجمله ای (Polynomial Map) :
نگاشت چندجمله ای (polynomial map) نوعی نگاشت است که با استفاده از چندجمله ای ها تعریف می شود. در حالت تک متغیره، تابعی به صورت
\[ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x + a_0 \]که در آن ضرایب
\[ a_i \]معمولا اعداد حقیقی یا مختلط هستند. درجه ی چندجمله ای بزرگترین
\[ n \]است که
\[ a_n\neq 0 \].
چندجمله ای ها ساده ترین توابع هموار (smooth) هستند: آن ها بینهایت بار مشتق پذیر و حتی تحلیلی (analytic) می باشند. مشتق یک چندجمله ای دوباره چندجمله ای است. انتگرال آن نیز چندجمله ای است (با اضافه شدن ثابت انتگرال).
در حالت چندمتغیره، یک نگاشت چندجمله ای
\[ f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m \]هر مؤلفه اش یک چندجمله ای از
\[ n \]متغیر است. مثلا
\[ f(x,y)=(x^2+y, xy) \]یک نگاشت چندجمله ای از
\[ \mathbb{R}^2 \]به
\[ \mathbb{R}^2 \]است.
در هندسه جبری، نگاشت های چندجمله ای بین واریته های جبری (algebraic varieties) نقش اساسی دارند. آن ها نگاشت های موضعا با چندجمله ای تعریف می شوند و مطالعه ی آن ها هسته ی اصلی این شاخه است.
چندجمله ای ها در تقریب توابع (سری تیلور)، درون یابی (درونیابی لاگرانژ)، و حل عددی معادلات کاربرد گسترده دارند.
\[ P(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k \quad,\quad F(x,y) = (x^2y, y^3 - x) \]✏️ مثال:
\[ f(x)=3x^4-2x^2+5 \]یک چندجمله ای درجه ۴ است.
\[ F(u,v)=(u^2+v^2, uv) \]یک نگاشت چندجمله ای دومتغیره است.
