نگاشت درجه دوم (Quadratic Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت درجه دوم (Quadratic Map) :

نگاشت درجه دوم (quadratic map) ساده ترین نوع نگاشت غیرخطی است که به صورت

\[ f(x)=ax^2+bx+c \]

(با

\[ a\neq0 \]

) تعریف می شود. این توابع در ریاضیات پایه، فیزیک (حرکت پرتابه ها) و اقتصاد (توابع سود درجه دوم) کاربرد دارند.

در دینامیک، نگاشت لجستیک (logistic map)

\[ x_{n+1}=r x_n(1-x_n) \]

یک نگاشت درجه دوم است که رفتار آشوبناک از خود نشان می دهد و یکی از معروف ترین سیستم های دینامیکی گسسته است.

در هندسه، نگاشت های درجه دوم از صفحه به صفحه (مانند

\[ (x,y)\mapsto (x^2-y^2,2xy) \]

) که معادل مربع کردن اعداد مختلط

\[ z\mapsto z^2 \]

است، نگاشت های هم نما (conformal) در نقاط غیرصفر هستند.

در جبر خطی، فرم های درجه دوم (quadratic forms)

\[ Q(x)=x^T A x \]

با توابع درجه دوم (چندمتغیره) مرتبط اند. این فرم ها در بهینه سازی و هندسه دیفرانسیل (انحنای سکشنال) اهمیت دارند.

در نظریه اعداد، تابع درجه دوم

\[ f(x)=x^2 \]

برای مطالعه ی مانده های درجه دوم (quadratic residues) به کار می رود.

\[ f(x)=ax^2+bx+c \quad,\quad Q(x)=\sum_{i,j} a_{ij}x_i x_j \]

✏️ مثال:

\[ f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2 \]

، نگاشت لجستیک

\[ f(x)=rx(1-x) \]

، و در بعد ۲:

\[ f(x,y)=(x^2-y^2, 2xy) \]

.