نگاشت متعالی (Transcendental Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت متعالی (Transcendental Map) :
نگاشت متعالی (transcendental map) به توابعی گفته می شود که جبری نیستند، یعنی نمی توانند در هیچ معادله ی چندجمله ای با ضرایب ثابت صدق کنند. معروف ترین نمونه ها:
\[ e^x \]،
\[ \ln x \]،
\[ \sin x \]،
\[ \cos x \]و توابع مثلثاتی و هایپربولیک.
در آنالیز مختلط، توابع متعالی کامل (entire) مانند
\[ e^z \]،
\[ \sin z \]،
\[ \cos z \]در بی نهایت نقاط تکین اساسی (essential singularity) دارند. تابع
\[ e^{1/z} \]در
\[ z=0 \]یک نقطه ی تکین اساسی دارد.
توابع متعالی رفتار پیچیده تری نسبت به توابع جبری دارند. برای مثال، معادله
\[ e^x + x = 0 \]جواب جبری ندارد و جواب های آن با استفاده از تابع لامبرت W (که خود متعالی است) بیان می شوند.
در نظریه اعداد، اثبات متعالی بودن اعدادی مانند
\[ \pi \]و
\[ e \](قضیه ی لیندمن-وایرشتراس) از نتایج عمیق است. توابع متعالی در فیزیک نظری (مانند توابع موج) و مهندسی کاربرد فراوان دارند.
\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \quad,\quad \sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]✏️ مثال:
\[ f(x)=\sin x \]متعالی است زیرا معادله ی جبری با ضرایب ثابت برای آن وجود ندارد.
\[ f(x)=\ln x \]نیز متعالی است.
