نگاشت هایپربولیک (Hyperbolic Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت هایپربولیک (Hyperbolic Map) :

توابع هایپربولیک (hyperbolic functions) شامل

\[ \sinh x \]

،

\[ \cosh x \]

،

\[ \tanh x \]

و غیره هستند که با توابع نمایی تعریف می شوند:

\[ \sinh x = (e^x - e^{-x})/2 \]

،

\[ \cosh x = (e^x + e^{-x})/2 \]

. این توابع در هندسه ی لورنتس (نسبیت خاص)، کاتناری (زنجیر آویزان)، و حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم ظاهر می شوند.

برخلاف توابع مثلثاتی که با دایره مرتبطند، توابع هایپربولیک با هذلولی

\[ x^2-y^2=1 \]

مرتبط هستند: نقاط روی شاخه ی راست هذلولی به صورت

\[ (\cosh t,\sinh t) \]

پارامتر می شوند.

این توابع تحلیلی هستند و مشتقات آن ها شبیه مثلثاتی است اما بدون علامت منفی:

\[ \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \]

،

\[ \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \]

.

در آنالیز مختلط،

\[ \sinh z \]

و

\[ \cosh z \]

توابع کامل هستند و رابطه هایی مانند

\[ \sinh(iz)=i\sin z \]

و

\[ \cosh(iz)=\cos z \]

بین توابع مثلثاتی و هایپربولیک برقرار است.

\[ \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \quad,\quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} \]

✏️ مثال: شکل کاتناری

\[ y=a\cosh(x/a) \]

شکل زنجیر آویزان است.

\[ \tanh x \]

در تابع سیگموئید در شبکه های عصبی استفاده می شود.