نگاشت مثلثاتی (Trigonometric Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت مثلثاتی (Trigonometric Map) :
نگاشت های مثلثاتی (trigonometric) شامل توابع
\[ \sin x \]،
\[ \cos x \]،
\[ \tan x \]و معکوس های آنها هستند. این توابع در هندسه، فیزیک (نوسان ها، امواج)، مهندسی برق و سیگنال نقش اساسی دارند.
\[ \sin \]و
\[ \cos \]توابعی متناوب با دوره ی
\[ 2\pi \]هستند و در دایره ی واحد مختلط با
\[ e^{ix}=\cos x + i\sin x \]مرتبطند. این توابع تحلیلی (حقیقی-تحلیلی) هستند و سری تیلور آن ها همگرا است:
\[ \sin x = x - x^3/3! + \cdots \].
در آنالیز مختلط،
\[ \sin z \]و
\[ \cos z \]با استفاده از سری های توانی به کل صفحه ی مختلط گسترش می یابند و توابع کامل (entire) هستند (تحلیلی در همه جا). آن ها نامحدود نیستند (در راستای موهومی رشد نمایی دارند).
\[ \tan z = \sin z / \cos z \]توابعی مرومورفیک با قطب های مرتبه ی اول در
\[ \pi/2 + k\pi \]است. این توابع در حل معادلات دیفرانسیل و انتگرال گیری کاربرد دارند.
\[ \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \quad,\quad \cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \]✏️ مثال: موج سینوسی
\[ y=A\sin(\omega t + \phi) \]در فیزیک.
\[ \tan(\pi/4)=1 \]. در مختلط،
\[ \sin(i)= i\sinh(1) \].
