نگاشت توانی (Power Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت توانی (Power Map) :
نگاشت توانی (power map) به توابعی از فرم
\[ f(x)=x^a \](با
\[ a \]ثابت) اطلاق می شود. در حالت طبیعی،
\[ a \]یک عدد حقیقی یا مختلط است. برای
\[ a=n\in\mathbb{N} \]،
\[ f(x)=x^n \]یک چندجمله ای ساده است. برای
\[ a \]کسری مانند
\[ x^{p/q} \]، ریشه ی
\[ q \]-ام تعریف می شود و برای توان های حقیقی با استفاده از نمایی و لگاریتم تعریف می گردد:
\[ x^a = e^{a\ln x} \]برای
\[ x>0 \].
نگاشت های توانی در فیزیک برای مدل سازی پدیده های توانی (power laws) مانند قانون عکس مربع، رابطه های مقیاسی (scaling) و فرکتال ها به کار می روند. مشتق
\[ x^n \]برابر
\[ nx^{n-1} \]است که در حسابان پایه ای است.
در صفحه ی مختلط،
\[ z^n \]یک تابع تحلیلی است که زاویه ها را
\[ n \]برابر می کند.
\[ z^{1/n} \]چندمقداره است و رویه های ریمانی برای تک مقدار کردن آن به کار می روند.
در جبر، نگاشت توانی در گروه ها به صورت
\[ g \mapsto g^n \]تعریف می شود که در نظریه ی گروه ها اهمیت دارد.
\[ f(x)=x^a = e^{a\ln x} \quad,\quad (x^n)' = n x^{n-1} \]✏️ مثال:
\[ f(x)=x^2 \](سهمی)،
\[ f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x} \]،
\[ f(z)=z^3 \]در صفحه ی مختلط زاویه ها را سه برابر می کند.
