نگاشت لگاریتمی (Logarithmic Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت لگاریتمی (Logarithmic Map) :

نگاشت لگاریتمی (logarithmic map) معکوس نگاشت نمایی است. در حالت حقیقی،

\[ \ln x \]

برای

\[ x>0 \]

تعریف می شود و خواص

\[ \ln(xy)=\ln x + \ln y \]

و

\[ \ln(e^x)=x \]

را دارد. لگاریتم طبیعی پایه ی

\[ e \]

در علم و مهندسی برای خطی سازی روابط نمایی به کار می رود.

در آنالیز مختلط، لگاریتم یک تابع چندمقداره است:

\[ \log z = \ln|z| + i\arg z + 2k\pi i \]

. برای تک مقدار کردن آن، شاخه هایی مانند شاخه ی اصلی (principal branch) با

\[ \arg z \in (-\pi,\pi] \]

تعریف می شود. لگاریتم مختلط در نقاط غیرصفر تحلیلی است (به جز برش شاخه).

در هندسه ریمانی، نگاشت لگاریتمی

\[ \log_p: U \subset M \to T_pM \]

معکوس موضعی

\[ \exp_p \]

است و نقاط نزدیک

\[ p \]

را به بردارهای مماس می برد. این نگاشت در تحلیل داده های روی منیفلدها (مثل آمار روی کره) کاربرد دارد.

در نظریه اعداد، لگاریتم گسسته (discrete logarithm) در گروه های دوری برای رمزنگاری استفاده می شود.

\[ \ln: (0,\infty) \to \mathbb{R} \quad,\quad \log z = \ln|z| + i\operatorname{Arg}z \]

✏️ مثال:

\[ \ln(e^2)=2 \]

،

\[ \log(-1) = i\pi \]

(شاخه ی اصلی). روی کره،

\[ \log_p \]

یک همسایگی از

\[ p \]

را به صفحه ی مماس می برد.