نگاشت نمایی (Exponential Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت نمایی (Exponential Map) :
نگاشت نمایی (exponential map) در ریاضیات به دو مفهوم مهم اشاره دارد: یکی تابع نمایی کلاسیک
\[ f(x)=e^x \]و دیگری نگاشت نمایی در هندسه دیفرانسیل روی منیفلدهای ریمانی. در اینجا هر دو جنبه را پوشش می دهیم.
تابع نمایی حقیقی
\[ f(x)=e^x \]یک نگاشت پیوسته، مشتق پذیر و تحلیلی از
\[ \mathbb{R} \]به
\[ \mathbb{R}^+ \]است که به ازای
\[ x=0 \]مقدار ۱ دارد و نرخ رشد آن متناسب با خود تابع است (
\[ f'=f \]). این تابع در حل معادلات دیفرانسیل، رشد جمعیت، بهره ی مرکب و فیزیک کاربردهای فراوان دارد.
در حالت مختلط،
\[ f(z)=e^z \]یک تابع همه جا تحلیلی و پریودیک با دوره تناوب موهومی
\[ 2\pi i \]است. این تابع هر نقطه در صفحه ی مختلط را به یک نقطه ی غیرصفر می برد و پوشا است (به جز صفر).
در هندسه دیفرانسیل، نگاشت نمایی
\[ \exp_p: T_pM \to M \]برای یک نقطه
\[ p \]روی منیفلد ریمانی
\[ M \]، هر بردار مماس
\[ v \]در
\[ p \]را به نقطه ای در طول ژئودزیک با سرعت اولیه
\[ v \]می برد. این نگاشت برای مطالعه ی هندسه موضعی و مختصات نرمال بسیار مهم است.
\[ \exp: \mathfrak{g} \to G \quad \text{(در نظریه لی)} \qquad \exp_p(v) = \gamma_v(1) \]✏️ مثال: روی کره ی
\[ S^2 \]، نگاشت نمایی در قطب شمال، صفحه ی مماس را به کره می پوشاند (به جز نقطه ی مقابل). در جبر لی،
\[ \exp \]ماتریس های
\[ n\times n \]را به گروه لی
\[ GL(n,\mathbb{R}) \]می برد.
