نگاشت مشتق پذیر گاتو (Gâteaux Differentiable Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت مشتق پذیر گاتو (Gâteaux Differentiable Map) :

مشتق گاتو (Gâteaux) مفهوم ضعیف تری از مشتق پذیری نسبت به مشتق فرشه است. این مشتق در امتداد یک جهت خاص تعریف می شود. یک نگاشت

\[ f:X\to Y \]

در نقطه

\[ x_0 \]

در جهت

\[ h \]

مشتق گاتو دارد اگر حد زیر موجود باشد:

\[ \delta f(x_0; h) = \lim_{t\to 0} \frac{f(x_0+th)-f(x_0)}{t} \]

.

اگر این حد برای همه ی

\[ h\in X \]

موجود باشد و نگاشت

\[ h\mapsto \delta f(x_0;h) \]

خطی و کراندار باشد، آن را مشتق گاتو می نامیم و با

\[ D_G f(x_0) \]

نشان می دهیم. هر تابع مشتق پذیر فرشه، مشتق پذیر گاتو نیز هست، ولی عکس آن لزوما درست نیست.

مشتق گاتو در مسائل تغییراتی و بهینه سازی کاربرد دارد، زیرا برای محاسبه ی مشتق جهتی کافی است و نیازی به همگرایی یکنواخت ندارد. بسیاری از توابع که مشتق فرشه ندارند، مشتق گاتو دارند (مانند توابع ناهموار).

در مکانیک محیط های پیوسته و تئوری الاستیسیته، مشتق گاتو برای محاسبه ی تغییرات انرژی به کار می رود.

\[ D_G f(x_0)(h) = \lim_{t\to 0} \frac{f(x_0+th)-f(x_0)}{t} \]

✏️ مثال: تابع

\[ f(x,y)=\frac{x^3y}{x^6+y^2} \]

برای

\[ (x,y)\neq(0,0) \]

و

\[ f(0,0)=0 \]

در مبدأ مشتق گاتو در همه ی جهات دارد (صفر است) ولی مشتق فرشه ندارد (چون پیوسته هم نیست).