نگاشت مشتق پذیر فرشه (Fréchet Differentiable Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت مشتق پذیر فرشه (Fréchet Differentiable Map) :
در فضاهای نرم دار، مشتق پذیری فرشه (Fréchet) تعمیم طبیعی مشتق در حسابان به فضاهای با بعد نامتناهی است. فرض کنید
\[ X \]و
\[ Y \]فضاهای نرم دار و
\[ U\subset X \]باز باشد. یک نگاشت
\[ f:U\to Y \]در نقطه
\[ x_0\in U \]مشتق پذیر فرشه است اگر یک عملگر خطی کراندار
\[ A:X\to Y \]و یک تابع
\[ r(x) \]با خاصیت
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{\|r(x)\|}{\|x-x_0\|}=0 \]وجود داشته باشد به طوری که
\[ f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+r(x) \].
عملگر
\[ A \]را مشتق فرشه
\[ f \]در
\[ x_0 \]می نامند و با
\[ Df(x_0) \]نشان می دهند. این مفهوم در حساب تغییرات، نظریه ی کنترل بهینه، و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی کاربرد اساسی دارد.
اگر
\[ X \]و
\[ Y \]فضاهای اقلیدسی متناهی بعد باشند، مشتق فرشه با ماتریس ژاکوبی (مشتق معمولی) یکی است. در حالت کلی، مشتق فرشه بهترین تقریب خطی موضعی برای نگاشت است.
قضیه ی تابع معکوس و قضیه ی تابع ضمنی برای نگاشت های مشتق پذیر فرشه در فضاهای باناخ برقرار هستند، که ابزار قدرتمندی در آنالیز غیرخطی فراهم می کنند.
\[ f(x_0 + h) = f(x_0) + Df(x_0)h + o(\|h\|) \]✏️ مثال: عملگر
\[ f:C([0,1])\to C([0,1]) \]با
\[ f(u)(t)=u(t)^2 \]در هر نقطه مشتق پذیر فرشه است و
\[ Df(u)h = 2u(t)h(t) \].
