نگاشت کاملا پیوسته (Completely Continuous Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت کاملا پیوسته (Completely Continuous Map) :
اصطلاح «کاملا پیوسته» (completely continuous) گاهی مترادف با «فشرده» (compact) در آنالیز تابعی به کار می رود، اما تعریف دقیق تری نیز دارد: یک عملگر خطی
\[ T:X\to Y \]کاملا پیوسته است اگر تصویر هر مجموعه ی کراندار (نه فقط هر دنباله) را به مجموعه ای با بستار فشرده ببرد. این دقیقا همان تعریف عملگر فشرده است.
در برخی متون قدیمی تر، «کاملا پیوسته» برای عملگرهایی به کار می رفت که دنباله های همگرای ضعیف را به دنباله های همگرای قوی می برند. اما امروزه این خاصیت را «عملگر فشرده»
در کاربردهای عملی، عملگرهای کاملا پیوسته یا فشرده نقش اساسی در حل معادلات انتگرالی نوع دوم دارند. معادله ی
\[ f - Kf = g \]با
\[ K \]فشرده، رفتاری شبیه به معادلات با ماتریس های متناهی بعد دارد.
در نظریه ی طیفی، عملگرهای فشرده خودالحاق روی فضای هیلبرت قابل قطری سازی با یک پایه ی متعامد هستند.
\[ x_n \rightharpoonup x \implies T x_n \to T x \quad \text{(تعریف معادل)} \]✏️ مثال: عملگر درون یابی (embedding) از فضای سوبولف
\[ H^1([0,1]) \]به
\[ L^2([0,1]) \]فشرده است (کاملا پیوسته).
