نگاشت فشرده (Compact Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت فشرده (Compact Map) :
در آنالیز تابعی، یک عملگر خطی
\[ T:X\to Y \]بین فضاهای نرم دار را فشرده (compact) می نامیم اگر تصویر هر مجموعه ی کراندار در
\[ X \]تحت
\[ T \]دارای بستار فشرده در
\[ Y \]باشد (یعنی پیش فشرده (precompact) باشد). این معادل است با این که
\[ T \]، هر دنباله ی کرانداری را به دنباله ای با زیردنباله ی همگرا ببرد.
عملگرهای فشرده تعمیم عملگرهای با رتبه ی متناهی (finite rank) هستند و در نظریه ی طیفی نقش کلیدی دارند. عملگرهای فشرده روی فضاهای هیلبرت، طیف گسسته دارند (به جز صفر) و می توان آن ها را با سری های یکنواخت از عملگرهای رتبه ی متناهی تقریب زد.
عملگرهای انتگرالی با هسته های مربع پذیر (مانند عملگرهای فرِدهولم) معمولا فشرده هستند. همچنین عملگرهای دیفرانسیلی معکوس (مانند عملگر گرین) اغلب فشرده هستند.
در معادلات دیفرانسیل جزئی، عملگرهای فشرده برای اثبات وجود جواب با استفاده از نظریه ی آلترناتیو فرِدهولم به کار می روند.
\[ T: X \to Y \text{ compact } \iff \overline{T(B_X)} \text{ compact in } Y \]✏️ مثال: عملگر انتگرالی
\[ (Tf)(x) = \int_0^1 K(x,y)f(y)\,dy \]با هسته ی پیوسته
\[ K \]روی
\[ C([0,1]) \]یک عملگر فشرده است.
