نگاشت باز (Open Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت باز (Open Map) :

نگاشت باز (open map) در توپولوژی نگاشتی است که تصویر هر مجموعه ی باز را به یک مجموعه ی باز می برد. یعنی اگر

\[ U\subset X \]

باز باشد، آن گاه

\[ f(U)\subset Y \]

باز است.

مثال های مهم: هر هومئومورفیسم (homeomorphism) هم باز است و هم بسته. تصویر یک فضای متری تحت یک نگاشت پوشش دهنده (covering map) معمولا باز است. همچنین هر نگاشت پوشا و پیوسته با مشتق ناصفر روی منیفلدها (طبق قضیه ی تابع معکوس) موضعا باز است.

در آنالیز مختلط، توابع تحلیلی غیرثابت، نگاشت های باز هستند (قضیه ی نگاشت باز). این قضیه می گوید که اگر

\[ f \]

یک تابع تحلیلی غیرثابت روی یک ناحیه باشد،

\[ f \]

تصویر هر مجموعه ی باز را به یک مجموعه ی باز می برد.

در آنالیز تابعی، قضیه ی نگاشت باز (open mapping theorem) بیان می کند که هر عملگر خطی پیوسته و پوشا بین فضاهای باناخ، یک نگاشت باز است.

\[ U \subset X \text{ باز } \implies f(U) \subset Y \text{ باز } \]

✏️ مثال:

\[ f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} \]

با

\[ f(z)=e^z \]

باز است (چون تحلیلی و غیرثابت است).

\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]

با

\[ f(x)=x^2 \]

باز نیست (تصویر

\[ (-1,1) \]

برابر

\[ [0,1) \]

است که باز نیست).