نگاشت بسته (Closed Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت بسته (Closed Map) :

در توپولوژی، یک نگاشت

\[ f:X\to Y \]

بسته (closed) نامیده می شود اگر تصویر هر مجموعه ی بسته در

\[ X \]

یک مجموعه ی بسته در

\[ Y \]

باشد. این مفهوم دوگان با مفهوم نگاشت باز (open map) است که تصویر مجموعه های باز را به مجموعه های باز می برد.

نگاشت های بسته لزوما پیوسته نیستند (اگرچه اگر پیوسته باشند خواص خوبی دارند). در توپولوژی جبری، نگاشت های پوششی (covering maps) معمولا باز و بسته هستند (اگر پوشش متناهی برگ باشد).

در آنالیز تابعی، نگاشت های خطی بسته (closed linear operators) مفهوم دیگری دارند: یک عملگر خطی

\[ A:D(A)\subset X\to Y \]

بسته است اگر گراف آن در

\[ X\times Y \]

بسته باشد. این مفهوم با نگاشت بسته در توپولوژی متفاوت است.

نگاشت های بسته در نظریه ی فضاهای متری و فشرده سازی ها ظاهر می شوند. هر نگاشت پیوسته از یک فضای فشرده به یک فضای هاسدورف، بسته است.

\[ F \subset X \text{ بسته } \implies f(F) \subset Y \text{ بسته } \]

✏️ مثال: نگاشت

\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]

با

\[ f(x)=x^2 \]

بسته نیست (چون

\[ \mathbb{R} \]

بسته است اما تصویر آن

\[ [0,\infty) \]

در

\[ \mathbb{R} \]

بسته است؟ اشتباه:

\[ [0,\infty) \]

بسته است. مثال بهتر:

\[ f(x)=e^x \]

بسته نیست زیرا تصویر

\[ \mathbb{R} \]

(که بسته است) برابر

\[ (0,\infty) \]

است که بسته نیست (در

\[ \mathbb{R} \]

نیم باز است).