نگاشت انقباضی (Contraction Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت انقباضی (Contraction Map) :
نگاشت انقباضی (contraction) حالت خاصی از نگاشت لیپشیتز با ثابت
\[ L<1 \]است. یعنی
\[ d(f(x),f(y)) \le L d(x,y) \]با
\[ 0\le L<1 \]. این بدان معناست که نگاشت فاصله ها را کاهش می دهد.
مهم ترین قضیه درباره ی نگاشت های انقباضی، قضیه ی نقطه ی ثابت باناخ (Banach fixed-point theorem) است: هر نگاشت انقباضی روی یک فضای متری کامل، دقیقا یک نقطه ی ثابت دارد و با تکرار نگاشت از هر نقطه ی شروع به آن نقطه همگرا می شویم.
این قضیه کاربردهای وسیعی در حل معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرالی، و روش های تکراری در آنالیز عددی دارد. روش نیوتن و روش تکرار ساده (fixed-point iteration) بر همین اساس طراحی می شوند.
در دینامیک، نگاشت های انقباضی جاذب های نقطه ای دارند و رفتار بلندمدت ساده ای از خود نشان می دهند (برخلاف نگاشت های آشوبناک).
\[ \exists L \in [0,1): \; d(f(x),f(y)) \le L\, d(x,y) \]✏️ مثال:
\[ f(x)=\frac{x}{2} \]روی
\[ \mathbb{R} \]انقباضی با
\[ L=1/2 \]است و نقطه ی ثابت
\[ 0 \]دارد.
\[ f(x)=\cos x \]روی
\[ \mathbb{R} \]انقباضی نیست (چرا که مشتق می تواند به ۱ برسد) اما در بازه های بسته ممکن است انقباضی باشد.
