نگاشت لیپشیتز (Lipschitz Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت لیپشیتز (Lipschitz Map) :

نگاشت لیپشیتز (Lipschitz) نوعی شرط یکنواخت پیوستگی قوی است. یک تابع

\[ f:X\to Y \]

بین فضاهای متری لیپشیتز نامیده می شود اگر ثابت

\[ L \ge 0 \]

وجود داشته باشد که برای هر

\[ x_1,x_2 \]

:

\[ d_Y(f(x_1),f(x_2)) \le L \, d_X(x_1,x_2) \]

.

کوچک ترین چنین

\[ L \]

را ثابت لیپشیتز می نامند. اگر

\[ L<1 \]

باشد، نگاشت را انقباض (contraction) می گوییم. توابع لیپشیتز همواره پیوسته و حتی به طور یکنواخت پیوسته هستند.

در آنالیز حقیقی، قضیه ی رادماخر می گوید که توابع لیپشیتز تقریبا همه جا مشتق پذیرند. این کلاس بزرگی از توابع را شامل می شود که در نظریه ی معادلات دیفرانسیل معمولی (برای اثبات وجود و یکتایی جواب با شرایط لیپشیتز) بسیار مهم است.

در هندسه، نگاشت های لیپشیتز بین منیفلدها مفهوم تغییرات کراندار را القا می کنند. در بهینه سازی، توابع لیپشیتز از نوسان محدود برخوردارند و روش های گرادیان کاهشی برای آن ها همگرا هستند.

\[ \|f(x)-f(y)\| \le L \|x-y\| \]

✏️ مثال:

\[ f(x)=\sqrt{x} \]

روی

\[ [0,1] \]

لیپشیتز نیست (مشتق در صفر بینهایت می شود) اما روی

\[ [1,\infty) \]

لیپشیتز است.

\[ f(x)=\sin x \]

با

\[ L=1 \]

لیپشیتز است.