نگاشت یک نوا (Monotonic Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت یک نوا (Monotonic Map) :

نگاشت یک نوا (monotonic) به توابعی روی مجموعه های مرتب (مانند اعداد حقیقی) گفته می شود که ترتیب را حفظ یا وارونه کنند. یک تابع

\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]

صعودی (non-decreasing) است اگر

\[ x_1 < x_2 \]

نتیجه دهد

\[ f(x_1) \le f(x_2) \]

. نزولی (non-increasing) است اگر

\[ x_1 < x_2 \]

نتیجه دهد

\[ f(x_1) \ge f(x_2) \]

.

اگر نامساوی ها اکید باشند (

\[ < \]

و

\[ > \]

)، تابع را اکیدا صعودی یا نزولی می نامیم. توابع یک نوا لزوما پیوسته نیستند، اما نقاط ناپیوستگی آن ها از نوع پرشی است و حداکثر شمارا هستند.

در آنالیز، توابع یک نوا انتگرال پذیر لبگ هستند و تقریبا همه جا مشتق دارند (قضیه ی لبگ). همچنین در نظریه ی احتمالات، توابع توزیع تجمعی (CDF) یک نوای صعودی هستند.

در فضاهای با ترتیب جزئی، می توان نگاشت های یک نوا (order-preserving) را تعریف کرد. در نظریه ی معادلات دیفرانسیل، عملگرهای یک نوا نقش مهمی در اثبات وجود جواب دارند.

\[ x \le y \implies f(x) \le f(y) \quad \text{(صعودی)} \]

✏️ مثال:

\[ f(x)=x^3 \]

اکیدا صعودی است.

\[ f(x)=\lfloor x \rfloor \]

(جزء صحیح) صعودی است (غیراکید).

\[ f(x)=\sin x \]

یک نوا نیست.