نگاشت هارمونیک (Harmonic Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت هارمونیک (Harmonic Map) :

نگاشت هارمونیک (harmonic map) تعمیمی از مفهوم تابع هارمونیک (که در آن لاپلاسین صفر است) به نگاشت های بین منیفلدها است. به طور خاص، اگر

\[ f:(M,g)\to (N,h) \]

یک نگاشت بین دو منیفلد ریمانی باشد،

\[ f \]

هارمونیک نامیده می شود اگر معادله ی اویلر-لاگرانژ برای تابع انرژی

\[ E(f)=\frac{1}{2}\int_M |df|^2 \, dV_g \]

برقرار باشد، که منجر به

\[ \tau(f)=0 \]

می شود، که در آن

\[ \tau(f) \]

میدان تانسیون (tension field) نام دارد.

به زبان ساده تر، در حالت خاصی که

\[ M \]

یک زیرمجموعه ی باز از

\[ \mathbb{R}^n \]

و

\[ N=\mathbb{R} \]

باشد، شرط هارمونیک بودن به

\[ \Delta f = 0 \]

(معادله ی لاپلاس) تبدیل می شود. بنابراین توابع هارمونیک کلاسیک (مانند

\[ f(x,y)=x^2-y^2 \]

) نمونه هایی از نگاشت های هارمونیک هستند.

در فیزیک، میدان های اسکالر و پتانسیل های الکتریکی در نبود بار، هارمونیک هستند. در هندسه دیفرانسیل، نگاشت های هارمونیک به عنوان «کمینه کننده های انرژی» نقش مهمی در نظریه ی میدان و هندسه دارند.

معادله ی نگاشت هارمونیک یک دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی است (اگر خمیدگی یا ابعاد بالاتر باشد) و مطالعه ی آن شاخه ای فعال در ریاضیات است.

\[ \Delta f = 0 \quad \text{(برای توابع حقیقی)} \qquad \tau(f) = 0 \quad \text{(برای نگاشت های بین منیفلدها)} \]

✏️ مثال: تابع

\[ f(x,y)=\ln(x^2+y^2) \]

در

\[ \mathbb{R}^2\setminus\{0\} \]

هارمونیک است (لاپلاسین آن صفر است). نگاشت همانی

\[ id:(M,g)\to(M,g) \]

هارمونیک است زیرا مشتق آن ثابت و انرژی آن مینیمم است.