نگاشت هولومورفیک (Holomorphic Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت هولومورفیک (Holomorphic Map) :

نگاشت هولومورفیک (holomorphic) معادل تابع تحلیلی در آنالیز مختلط است. یک تابع

\[ f:\Omega\subset\mathbb{C}\to\mathbb{C} \]

را در نقطه

\[ z_0 \]

هولومورفیک می نامیم اگر مشتق مختلط

\[ f'(z_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} \]

موجود باشد (حد در صفحه ی مختلط).

برخلاف توابع حقیقی، اگر یک تابع مختلط در یک همسایگی مشتق پذیر باشد، آن گاه بینهایت بار مشتق پذیر و همچنین تحلیلی است. یعنی نمایش سری توانی دارد. این یکی از شگفتی های آنالیز مختلط است.

توابع هولومورفیک خواص بسیار قوی دارند: قضیه ی انتگرال کوشی، اصل بیشینه، و قضیه ی لیوویل از جمله اند. این توابع در فیزیک نظری، نظریه ی اعداد و بسیاری شاخه های دیگر کاربرد دارند.

معادلات کوشی-ریمان شرط لازم و کافی برای هولومورفیک بودن یک تابع مختلط هستند: اگر

\[ f=u+iv \]

باشد، آن گاه

\[ u_x=v_y \]

و

\[ u_y=-v_x \]

.

\[ \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \quad \text{(شرط هولومورفیک)} \]

✏️ مثال:

\[ f(z)=z^2 \]

،

\[ f(z)=e^z \]

،

\[ f(z)=\sin z \]

همه هولومورفیک هستند.

\[ f(z)=\bar{z} \]

هولومورفیک نیست.