نگاشت هم نما (Conformal Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت هم نما (Conformal Map) :
نگاشت هم نما (conformal) نگاشتی است که زاویه ها را حفظ می کند. به طور دقیق تر، یک نگاشت دیفرانسیل پذیر
\[ f:U\subset\mathbb{C}\to\mathbb{C} \](یا در
\[ \mathbb{R}^n \]) هم نما است اگر مشتق آن در هر نقطه یک دوران همراه با یک انبساط/انقباض یکنواخت باشد (یعنی ماتریس ژاکوبی مضربی از یک ماتریس متعامد باشد).
در صفحه ی مختلط، توابع هم نما دقیقا توابع تحلیلی با مشتق غیرصفر هستند. یعنی
\[ f \]هم نما است اگر
\[ f'(z)\neq 0 \]و
\[ f \]تحلیلی باشد. این توابع زاویه ی بین منحنی ها را حفظ می کنند.
نگاشت های هم نما در کارتوگرافی (نقشه برداری) اهمیت دارند: نقشه هایی که زاویه ها را حفظ می کنند (مانند مرکاتور) هم نما هستند. همچنین در مکانیک سیالات و الکترواستاتیک برای حل مسائل با تغییر متغیر به کار می روند.
در هندسه دیفرانسیل، یک نگاشت هم نما بین رویه ها، متر را تا یک ضریب مقیاس (عامل هم نمایی) حفظ می کند.
\[ f \text{ conformal } \iff f'(z) \neq 0 \text{ and } f \text{ analytic} \]✏️ مثال: نگاشت
\[ f(z)=z^2 \]در نقاطی که
\[ z\neq 0 \]است هم نماست (زاویه ها را دو برابر می کند اما حفظشان می کند). نگاشت
\[ f(z)=e^z \]هم نما است.
