نگاشت تحلیلی (Analytic Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت تحلیلی (Analytic Map) :
نگاشت تحلیلی (analytic) یا حقیقی-تحلیلی (real analytic) به توابعی گفته می شود که در هر نقطه از دامنه ی خود بتوان آن ها را به صورت یک سری توانی همگرا (سری تیلور) نمایش داد. یعنی برای هر نقطه
\[ x_0 \]در دامنه، یک همسایگی وجود دارد که
\[ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n \].
توابع تحلیلی زیرمجموعه ی توابع هموار هستند، اما عکس آن درست نیست. برای مثال، تابع
\[ f(x)=e^{-1/x^2} \]برای
\[ x\neq 0 \]و
\[ f(0)=0 \]هموار است ولی تحلیلی نیست (سری تیلور آن در صفر همه جا صفر است ولی خود تابع صفر نیست).
در آنالیز مختلط، توابع تحلیلی (هولومورفیک) نقش بسیار مهمی دارند. یک تابع مختلط که در یک ناحیه مشتق پذیر باشد، لزوما تحلیلی است (قضیه ی مهمی در آنالیز مختلط).
تحلیلی بودن خاصیت بسیار قوی ای است که باعث می شود تابع به طور کامل توسط مقادیرش در یک همسایگی کوچک تعیین شود (اصل همانی).
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n \]✏️ مثال: توابع چندجمله ای،
\[ e^x \]،
\[ \sin x \]،
\[ \cos x \]همگی تحلیلی هستند.
