نگاشت مشتق پذیر (Differentiable Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت مشتق پذیر (Differentiable Map) :

نگاشت مشتق پذیر (differentiable) به نگاشتی گفته می شود که در یک نقطه (یا روی یک بازه) بتوان مشتق آن را محاسبه کرد. مشتق یک تابع در یک نقطه، نرخ تغییرات آنی تابع را نشان می دهد و به صورت حد نسبت تفاضلی تعریف می شود:

\[ f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

در صورتی که این حد موجود باشد.

اگر تابع در نقطه ای مشتق پذیر باشد، آن گاه در آن نقطه پیوسته نیز هست (ولی عکس آن لزوما برقرار نیست). مشتق پذیری شرط قوی تری از پیوستگی است.

برای توابع چندمتغیره، مشتق پذیری به معنای وجود نگاشت خطی (ماتریس ژاکوبی) است که تقریب خطی خوبی از تابع ارائه دهد. یعنی

\[ f \]

در نقطه

\[ a \]

مشتق پذیر است اگر

\[ \lim_{h\to 0} \frac{\|f(a+h)-f(a)-Df(a)h\|}{\|h\|}=0 \]

برای یک نگاشت خطی

\[ Df(a) \]

.

مشتق پذیری ابزار اصلی حسابان دیفرانسیل و انتگرال است و برای بهینه سازی، مدل سازی تغییرات و حل معادلات دیفرانسیل به کار می رود.

\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

✏️ مثال: تابع

\[ f(x)=x^2 \]

در همه جا مشتق پذیر است و

\[ f'(x)=2x \]

. تابع

\[ f(x)=|x| \]

در

\[ x=0 \]

مشتق پذیر نیست.

در فیزیک، سرعت و شتاب مشتقات مکان نسبت به زمان هستند.