نگاشت ناپیوسته (Discontinuous Map)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت ناپیوسته (Discontinuous Map) :

نگاشت ناپیوسته (discontinuous) به نگاشتی گفته می شود که در حداقل یک نقطه از دامنه ی خود شرط پیوستگی را نقض کند. به عبارت دیگر، نقطه ای مانند

\[ x_0 \]

وجود دارد که

\[ f \]

در آن نقطه پیوسته نیست.

ناپیوستگی می تواند انواع مختلفی داشته باشد: ناپیوستگی پرشی (jump discontinuity) که در آن حد چپ و راست موجود اما نابرابرند، ناپیوستگی نامتناهی (infinite discontinuity) که حد به بینهایت می رود، و ناپیوستگی اساسی (essential discontinuity) که حد وجود ندارد.

توابع ناپیوسته در ریاضیات کاربردی و فیزیک کمتر دیده می شوند، اما در نظریه ی سیگنال ها (توابع پله ای) و همچنین در مطالعه ی پدیده های گسسته ظاهر می شوند. تابع دیریکله (Dirichlet function) که روی اعداد گویا ۱ و روی اعداد گنگ ۰ است، در همه جا ناپیوسته است.

تحلیل توابع ناپیوسته معمولا با استفاده از نظریه ی اندازه و انتگرال گیری لبگ انجام می شود.

\[ \text{مثال: } f(x) = \begin{cases} 1 & x \ge 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} \quad \text{در x=0 ناپیوسته است.} \]

✏️ مثال: تابع

\[ f(x) = \frac{|x|}{x} \]

برای

\[ x\neq 0 \]

و

\[ f(0)=0 \]

در مبدأ ناپیوسته است. حد چپ

\[ -1 \]

و حد راست

\[ +1 \]

است.

ناپیوستگی ها گاهی قابل رفع هستند (removable discontinuity) مانند تابع

\[ \frac{\sin x}{x} \]

در

\[ x=0 \]

که با تعریف مجدد می توان آن را پیوسته کرد.