نگاشت پیوسته (Continuous Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت پیوسته (Continuous Map) :
نگاشت پیوسته (continuous) مفهوم بنیادی در توپولوژی و آنالیز است. یک تابع
\[ f:X\to Y \]بین دو فضای توپولوژیکی (یا به طور خاص بین فضاهای اقلیدسی) پیوسته است اگر تغییرات کوچک در ورودی منجر به تغییرات کوچک در خروجی شود. تعریف دقیق تر با استفاده از همسایگی ها: به ازای هر
\[ x \in X \]و هر همسایگی
\[ V \]از
\[ f(x) \]، یک همسایگی
\[ U \]از
\[ x \]وجود دارد که
\[ f(U) \subseteq V \].
در فضاهای متری (مانند
\[ \mathbb{R}^n \]) تعریف
\[ \epsilon-\delta \]را داریم:
\[ f \]در نقطه
\[ x_0 \]پیوسته است اگر به ازای هر
\[ \epsilon>0 \]، یک
\[ \delta>0 \]وجود داشته باشد که اگر
\[ |x-x_0|<\delta \]آن گاه
\[ |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \].
پیوستگی یکی از مفاهیم مرکزی در ریاضیات است. بسیاری از قضایای مهم مانند قضیه ی مقدار میانی، قضیه ی اکسترمم، و قضیه ی نقطه ی ثابت براوئر به پیوستگی وابسته اند.
مجموعه ی همه ی توابع پیوسته از یک فضای متری به فضای متری دیگر با
\[ C(X,Y) \]نشان داده می شود.
\[ \forall \epsilon>0,\; \exists \delta>0:\; d_X(x,x_0)<\delta \implies d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon \]✏️ مثال: همه ی توابع چندجمله ای مانند
\[ f(x)=x^3-2x+1 \]بر
\[ \mathbb{R} \]پیوسته هستند. تابع
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]روی
\[ \mathbb{R}\setminus\{0\} \]پیوسته است اما روی
\[ \mathbb{R} \]پیوسته نیست (در
\[ x=0 \]ناپیوسته است).
در توپولوژی، نگاشت های پیوسته همان ریختارها (morphisms) در رسته ی فضاهای توپولوژیکی هستند. یک نگاشت پیوسته با معکوس پیوسته را «همسان ریختی» (homeomorphism) می نامیم.
