نگاشت غیرخطی (Non-linear Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت غیرخطی (Non-linear Map) :
به هر نگاشتی که خطی نباشد، یعنی حداقل یکی از دو شرط جمع پذیری یا همگنی را نقض کند، نگاشت غیرخطی (nonlinear) گفته می شود. این دسته بسیار وسیع تر از نگاشت های خطی است و شامل اکثر توابعی می شود که در ریاضیات و علوم با آن ها سروکار داریم.
برای مثال، توابعی مانند
\[ f(x)=x^2 \]،
\[ f(x)=\sin x \]،
\[ f(x)=e^x \]همگی غیرخطی هستند. این توابع از اصل جمع پذیری پیروی نمی کنند (مثلا
\[ \sin(x+y)\neq \sin x + \sin y \]).
نگاشت های غیرخطی در مدل سازی پدیده های واقعی مانند دینامیک سیالات، مدارهای الکتریکی غیرخطی، اقتصاد و زیست شناسی نقش اساسی دارند. معادلات دیفرانسیل غیرخطی اغلب بسیار پیچیده تر از معادلات خطی هستند.
رفتار نگاشت های غیرخطی می تواند بسیار متنوع باشد: آن ها ممکن است چندین نقطه ی ثابت داشته باشند، رفتار آشوبناک از خود نشان دهند، یا دارای نقاط انشعاب (bifurcation) باشند.
\[ f(x) = x^2 + \sin(x) \quad \text{یک نگاشت غیرخطی است.} \]✏️ مثال:
\[ T(x,y) = (x^2, xy) \]از
\[ \mathbb{R}^2 \]به
\[ \mathbb{R}^2 \]یک نگاشت غیرخطی است زیرا
\[ T(2x,2y) = (4x^2, 4xy) \]در حالی که
\[ 2T(x,y) = (2x^2, 2xy) \]است و این دو برابر نیستند.
تحلیل نگاشت های غیرخطی نیازمند ابزارهای پیشرفته ای مانند حسابان، توپولوژی و آنالیز تابعی است. نظریه ی سیستم های دینامیکی عمدتا به مطالعه ی نگاشت های غیرخطی می پردازد.
