نگاشت خطی (Linear Map)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نگاشت خطی (Linear Map) :
نگاشت خطی (که گاهی تبدیل خطی نامیده می شود) مهم ترین نوع نگاشت در جبر خطی است. یک نگاشت
\[ T: V \to W \]بین دو فضای برداری روی یک میدان (مثلا اعداد حقیقی) خطی نامیده می شود اگر دو شرط اصلی را ارضا کند: اول، جمع پذیری (additivity) یعنی
\[ T(u+v)=T(u)+T(v) \]برای هر
\[ u,v \in V \]و دوم، همگنی (homogeneity) یعنی
\[ T(c v)=c T(v) \]برای هر اسکالر
\[ c \]و هر
\[ v \in V \].
این دو شرط را می توان در یک شرط معروف به «خاصیت خطی» خلاصه کرد:
\[ T(au+bv)=aT(u)+bT(v) \]برای همه ی اسکالرهای
\[ a,b \]و بردارهای
\[ u,v \].
نگاشت های خطی ساختار فضای برداری را حفظ می کنند: تصویر یک ترکیب خطی، ترکیب خطی تصاویر است. به همین دلیل، آن ها نگاشت های «حافظ ساختار» در جبر خطی محسوب می شوند.
مهم ترین مثال از نگاشت خطی، ضرب یک ماتریس در بردار است. اگر
\[ A \]یک ماتریس
\[ m \times n \]باشد، نگاشت
\[ T(x)=Ax \]از
\[ \mathbb{R}^n \]به
\[ \mathbb{R}^m \]یک نگاشت خطی است.
\[ T: V \to W \quad,\quad T(\alpha u + \beta v) = \alpha T(u) + \beta T(v) \]✏️ مثال: نگاشت
\[ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \]با ضابطه
\[ T(x,y)=(2x+y, x-3y) \]یک نگاشت خطی است. می توان آن را با ماتریس
\[ \begin{bmatrix}2 & 1\\1 & -3\end{bmatrix} \]نمایش داد.
نگاشت خطی همیشه مبدأ را به مبدأ می برد:
\[ T(0)=0 \]. مجموعه ی همه ی نگاشت های خطی از
\[ V \]به
\[ W \]خود یک فضای برداری تشکیل می دهد که با
\[ \mathcal{L}(V,W) \]نشان داده می شود.
در فیزیک و مهندسی، تبدیل های خطی برای مدل سازی بسیاری از پدیده ها مانند چرخش، انبساط، انقباض و برش (shear) به کار می روند.
