نگاشت پوشا (Surjective Map / Onto)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت پوشا (Surjective Map / Onto) :

نگاشت پوشا (surjective) نگاشتی است که هر عضو از مجموعه ی مقصد (هم دامنه) حداقل یک پیش نگاشت از دامنه داشته باشد. به عبارت دیگر، برد تابع با کل هم دامنه برابر است.

اگر

\[ f:X \to Y \]

پوشا باشد، آن گاه برای هر

\[ y \in Y \]

حداقل یک

\[ x \in X \]

وجود دارد که

\[ f(x)=y \]

.

به بیان ساده تر، در نگاشت پوشا همه ی عناصر مجموعه ی مقصد «استفاده» می شوند و هیچ عنصری بدون تصویر معکوس نمی ماند.

\[ \forall y \in Y,\; \exists x \in X:\; f(x)=y \]

✏️ مثال: تابع

\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \]

با ضابطه

\[ f(x)=x^3 \]

پوشا است (هر عدد حقیقی ریشه ی سوم دارد). اما

\[ f(x)=x^2 \]

پوشا نیست زیرا اعداد منفی تصویر ندارند.

توابع پوشا در جبر (به ویژه در همومورفیسم های پوشا) و همچنین در آنالیز تابعی اهمیت دارند. یک تبدیل خطی پوشا، فضای برد را تولید می کند.

در نظریه ی مجموعه ها، اگر یک نگاشت پوشا از

\[ A \]

به

\[ B \]

وجود داشته باشد، آن گاه

\[ |B| \leq |A| \]

.