نگاشت یک به یک (Injective Map / One-to-One)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت یک به یک (Injective Map / One-to-One) :

نگاشت یک به یک (injective) به نگاشتی گفته می شود که اعضای متمایز دامنه را به اعضای متمایز هم دامنه تصویر کند. یعنی اگر

\[ x_1 \neq x_2 \]

آن گاه

\[ f(x_1) \neq f(x_2) \]

.

به عبارت دیگر، در یک نگاشت یک به یک هیچ دو عنصر متفاوت از دامنه به یک عنصر یکسان از برد نگاشته نمی شوند. این خاصیت را گاهی «تک دویی» نیز می نامند.

برای آزمودن یک به یک بودن یک تابع، می توان از آزمون خط افقی استفاده کرد: اگر خط افقی نمودار تابع را در بیش از یک نقطه قطع کند، تابع یک به یک نیست.

\[ \forall x_1, x_2 \in X:\; x_1 \neq x_2 \;\Longrightarrow\; f(x_1) \neq f(x_2) \]

✏️ مثال: تابع

\[ f(x)=2x+1 \]

روی اعداد حقیقی یک به یک است. اما تابع

\[ f(x)=x^2 \]

یک به یک نیست زیرا

\[ f(2)=4 \]

و

\[ f(-2)=4 \]

.

توابع یک به یک اهمیت زیادی در جبر خطی و آنالیز دارند؛ برای مثال ماتریس های با ستون های مستقل خطی، تبدیل های خطی یک به یک تعریف می کنند.

همچنین در نظریه ی مجموعه ها، وجود یک نگاشت یک به یک از

\[ A \]

به

\[ B \]

نشان دهنده ی این است که

\[ |A| \leq |B| \]

.