نگاشت تابع (Function)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع نگاشت (Map) را در آموزش زیر شرح دادیم :

نگاشت تابع (Function) :

واژه ی «تابع» (Function) در ریاضیات دقیقا همان معنای نگاشت را دارد، اما گاهی برای اشاره به توابع عددی (با مقادیر عددی) به کار می رود. هر تابع یک نوع خاصی از رابطه است که در آن هیچ دو زوج مرتبی با اولین مؤلفه ی یکسان وجود ندارد.

به بیان دقیق تر، تابع

\[ f \]

از مجموعه

\[ A \]

به مجموعه

\[ B \]

یک قانون است که به هر عضو

\[ a \in A \]

یک عضو منحصربه فرد

\[ b \in B \]

نسبت می دهد. در این صورت می نویسیم

\[ f(a)=b \]

.

در تحلیل ریاضی، توابع معمولا با دامنه ای از اعداد حقیقی یا مختلط و با ضابطه ای مانند

\[ f(x)=\sin x \]

یا

\[ f(x)=e^x \]

شناخته می شوند.

\[ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \quad,\quad f(x)=x^3 - 2x + 1 \]

✏️ مثال: تابع

\[ f(x)=x+2 \]

یک تابع خطی است. اگر

\[ x=3 \]

باشد،

\[ f(3)=5 \]

.

توابع می توانند به صورت قطعه ای (piecewise) تعریف شوند. همچنین در ریاضیات عالی، مفهوم تابع به نگاشت های بین ساختارهای جبری مانند گروه ها، حلقه ها و میدان ها نیز گسترش می یابد.

در نظریه ی مجموعه ها، تابع را معادل با سه تایی

\[ (X, Y, G) \]

می دانند که در آن

\[ G \subseteq X \times Y \]

و برای هر

\[ x \]

یک

\[ y \]

منحصربه فرد وجود دارد.