انتگرال ریمان-لیوویل کسری (Riemann-Liouville Fractional Integral)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :

انتگرال ریمان-لیوویل کسری (Riemann-Liouville Fractional Integral) :

انتگرال ریمان-لیوویل کسری (Riemann-Liouville Fractional Integral) یکی از اساسی ترین تعریف های انتگرال کسری است. برای یک تابع

\[ f \]

که روی

\[ (0,\infty) \]

تعریف شده است، انتگرال کسری از مرتبه

\[ \alpha > 0 \]

به صورت زیر تعریف می شود:

\[ I^\alpha_{a+} f(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_a^x (x-t)^{\alpha-1} f(t) dt \]

معمولا

\[ a = 0 \]

در نظر گرفته می شود. این انتگرال تعمیم مستقیم انتگرال گیری مکرر است:

\[ I^n f \]

برای

\[ n \]

صحیح برابر با انتگرال گیری

\[ n \]

-باره است.

خواص مهم:

\[ I^\alpha I^\beta = I^{\alpha+\beta} \]

(خاصیت نیم گروهی). این انتگرال در حل معادلات دیفرانسیل کسری، مدل سازی فرآیندهای نفوذ نابهنجار، و ویسکوالاستیسیته کاربرد دارد.

برای

\[ \alpha = 1 \]

، به انتگرال معمولی تبدیل می شود. برای

\[ \alpha = 1/2 \]

، انتگرال نیمه نامیده می شود.