انتگرال چندجمله ای متعامد (Orthogonal Polynomial Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال چندجمله ای متعامد (Orthogonal Polynomial Integral) :
انتگرال چندجمله ای متعامد (Orthogonal Polynomial Integral) به انتگرال هایی اطلاق می شود که در آن ها چندجمله ای های متعامد (مانند لژاندر، چبیشف، لگر، هرمیت) با یک تابع وزن روی یک بازه ظاهر می شوند. خاصیت متعامدی به صورت زیر است:
\[ \int_a^b P_n(x) P_m(x) w(x) dx = h_n \delta_{nm} \]که
\[ w(x) \]تابع وزن و
\[ h_n \]ثابت نرمالیزاسیون است.
مثال ها:
- لژاندر:
\[ \int_{-1}^1 P_n(x) P_m(x) dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{nm} \]- چبیشف نوع اول:
\[ \int_{-1}^1 \frac{T_n(x) T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{\pi}{2} \delta_{nm} \](برای
\[ n,m>0 \])
- لگر:
\[ \int_0^\infty L_n(x) L_m(x) e^{-x} dx = \delta_{nm} \]- هرمیت:
\[ \int_{-\infty}^\infty H_n(x) H_m(x) e^{-x^2} dx = 2^n n! \sqrt{\pi} \delta_{nm} \]این انتگرال ها در آنالیز عددی، فیزیک کوانتومی (نوسانگر هارمونیک)، و نظریه تقریب کاربرد دارند.
نویسنده علیرضا گلمکانی
شماره کلید 6891
گزینه ها 
نظرات 0 0 0