انتگرال توابع ناپیوسته (Integral of Discontinuous Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال توابع ناپیوسته (Integral of Discontinuous Functions) :
توابع ناپیوسته (Discontinuous Functions) توابعی هستند که در برخی نقاط دامنه خود، حد با مقدار تابع برابر نیست. انتگرال پذیری این توابع به نوع و تعداد نقاط ناپیوستگی بستگی دارد.
در انتگرال ریمان، یک تابع کراندار روی بازه
\[ [a,b] \]انتگرال پذیر است اگر و فقط اگر مجموعه نقاط ناپیوستگی آن اندازه صفر داشته باشد (یعنی بتوان آن را با مجموعه ای از بازه ها با طول کل دلخواه کوچک پوشاند). توابع با تعداد شمارش پذیری از ناپیوستگی های پرشی (از نوع اول) انتگرال پذیرند.
مثال: تابع پله ای (step function) که در نقاط گسسته پرش دارد، انتگرال پذیر است و انتگرال آن مجموع مساحت مستطیل هاست.
\[ \int_0^2 \lfloor x \rfloor dx = 0\cdot 1 + 1\cdot 1 = 1 \]تابع دیریکله (که بر روی اعداد گویا 1 و بر روی گنگ ها 0 است) در همه نقاط ناپیوسته است و انتگرال ریمان ندارد، اما انتگرال لبگ آن (برابر 0) وجود دارد.
در فیزیک، توابع ناپیوسته برای مدل سازی پدیده هایی مانند ضربه (تابع دلتای دیراک) یا تغییر ناگهانی در خواص ماده به کار می روند.
