انتگرال توابع محدب (Integral of Convex Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال توابع محدب (Integral of Convex Functions) :
یک تابع
\[ f \]را محدب (Convex) گوییم هرگاه برای هر
\[ x_1, x_2 \]و
\[ t \in [0,1] \]،
\[ f(tx_1 + (1-t)x_2) \le t f(x_1) + (1-t) f(x_2) \]. به عبارت دیگر، نمودار تابع زیر وتر قرار می گیرد.
برای توابع محدب، نابرابری های مهمی در مورد انتگرال وجود دارد. یکی از مهم ترین آن ها، نابرابری ینسن (Jensen's inequality) است:
\[ f\left( \frac{1}{b-a} \int_a^b g(x) dx \right) \le \frac{1}{b-a} \int_a^b f(g(x)) dx \]که
\[ g \]یک تابع دلخواه است. اگر
\[ g(x) = x \]باشد، آن گاه
\[ f(\text{میانگین}) \le \text{میانگین} f(x) \].
همچنین، برای یک تابع محدب، می توان از روش ذوزنقه ای برای تخمین انتگرال استفاده کرد که خطای آن قابل کنترل است.
در فیزیک، توابع محدب در ترمودینامیک (مانند انرژی آزاد) و نظریه اطلاعات (آنتروپی) ظاهر می شوند.
نویسنده علیرضا گلمکانی
شماره کلید 6838
گزینه ها 
نظرات 0 0 0