انتگرال توابع صعودی (Integral of Increasing Functions)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :

انتگرال توابع صعودی (Integral of Increasing Functions) :

یک تابع

\[ f \]

را صعودی (Increasing) گوییم هرگاه برای

\[ x_1 < x_2 \]

،

\[ f(x_1) \le f(x_2) \]

. اگر

\[ f \]

اکیدا صعودی باشد، آن گاه

\[ f(x_1) < f(x_2) \]

.

انتگرال یک تابع صعودی روی بازه

\[ [a,b] \]

، مساحت زیر منحنی آن است. همچنین، توابع صعودی انتگرال پذیر ریمان هستند (چون ناپیوستگی های آن ها حداکثر شمارش پذیر است).

نابرابری مهم برای توابع صعودی: اگر

\[ f \]

صعودی و

\[ m \le f(a) \]

و

\[ f(b) \le M \]

، آن گاه

\[ m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a) \]

.

همچنین، می توان با استفاده از جمع های پایین و بالای ریمان، کران هایی برای انتگرال توابع صعودی به دست آورد.

\[ \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x \le \int_a^b f(x) dx \le \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x \]

در فیزیک، توابع صعودی مانند انرژی پتانسیل بر حسب مکان (در برخی میدان ها) ظاهر می شوند.