انتگرال توابع متناوب (Integral of Periodic Functions)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :

انتگرال توابع متناوب (Integral of Periodic Functions) :

یک تابع

\[ f \]

را متناوب با دوره تناوب

\[ T \]

گوییم هرگاه

\[ f(x+T) = f(x) \]

برای همه

\[ x \]

. مثال ها:

\[ \sin x \]

با دوره

\[ 2\pi \]

،

\[ \tan x \]

با دوره

\[ \pi \]

.

خاصیت مهم: انتگرال یک تابع متناوب روی بازه ای به طول دوره تناوب، مستقل از نقطه شروع است:

\[ \int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx \]

برای هر

\[ a \]

.

همچنین، اگر تابع

\[ f \]

متناوب با دوره

\[ T \]

باشد و

\[ n \]

یک عدد صحیح مثبت باشد، آن گاه:

\[ \int_0^{nT} f(x) dx = n \int_0^T f(x) dx \]

.

این خاصیت در تحلیل سری های فوریه و محاسبه مقادیر میانگین توابع متناوب کاربرد دارد. میانگین یک تابع متناوب روی یک دوره کامل به صورت

\[ \frac{1}{T} \int_0^T f(x) dx \]

تعریف می شود.

مثال:

\[ \int_0^{2\pi} \sin^2 x dx = \pi \]

،

\[ \int_0^{4\pi} \sin^2 x dx = 2\pi \]

.