انتگرال توابع فرد (Integral of Odd Functions)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :

انتگرال توابع فرد (Integral of Odd Functions) :

یک تابع

\[ f \]

را فرد (Odd) گوییم هرگاه برای همه

\[ x \]

در دامنه،

\[ f(-x) = -f(x) \]

. توابع فرد نسبت به مبدأ مختصات متقارن هستند. مثال ها:

\[ x^3 \]

،

\[ \sin x \]

،

\[ \frac{1}{x} \]

(در دامنه ای که صفر نباشد).

خاصیت مهم انتگرال توابع فرد روی بازه های متقارن

\[ [-a, a] \]

به صورت زیر است:

\[ \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 \]

دلیل: با تجزیه انتگرال به دو بخش و تغییر متغیر

\[ u = -x \]

در بخش اول، متوجه می شویم که دو بخش قرینه یکدیگرند و مجموع صفر می شود.

مثال:

\[ \int_{-2}^{2} x^3 dx = 0 \]

،

\[ \int_{-\pi}^{\pi} \sin x dx = 0 \]

.

این خاصیت در فیزیک، برای محاسبه گشتاورها و انتگرال های میدان های متقارن مفید است. همچنین در سری فوریه، ضرایب سینوس برای توابع زوج صفر می شوند.