انتگرال ترکیب توابع (Integral of Composite Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال ترکیب توابع (Integral of Composite Functions) :
انتگرال گیری از ترکیب توابع، یعنی توابعی به صورت
\[ f(g(x)) \]، یکی از چالش برانگیزترین مباحث در حسابان است. در حالت کلی، فرمول بسته ای برای
\[ \int f(g(x)) dx \]وجود ندارد و به فرم خاص
\[ f \]و
\[ g \]بستگی دارد.
روش اصلی برای محاسبه این انتگرال ها، تغییر متغیر (substitution) است. اگر
\[ u = g(x) \]و
\[ du = g'(x) dx \]، آن گاه
\[ \int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du \]. اما اگر
\[ g'(x) \]در انتگرال ظاهر نشده باشد، تغییر متغیر ساده ممکن نیست.
در برخی موارد خاص، می توان از روش های دیگری مانند انتگرال گیری جزء به جزء یا استفاده از خواص تقارن استفاده کرد.
\[ \int f(g(x)) dx = \int \frac{f(u)}{g'(g^{-1}(u))} du \quad \text{(با تغییر متغیر u = g(x) و این که x = g^{-1}(u))} \]این فرمول معمولا پیچیده تر از انتگرال اصلی است، مگر اینکه
\[ g \]خطی باشد.
اگر
\[ g \]یک تابع خطی
\[ ax+b \]باشد، آن گاه
\[ \int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} F(ax+b) + C \]که
\[ F \]پادمشتق
\[ f \]است.
برای توابع مثلثاتی، ترکیب هایی مانند
\[ \sin^2 x \]با استفاده از اتحادها به توابع ساده تر تبدیل می شوند.
