انتگرال تابع جزء صحیح (Integral of Floor/Ceiling Function)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال تابع جزء صحیح (Integral of Floor/Ceiling Function) :
تابع جزء صحیح (Floor) که با
\[ \lfloor x \rfloor \]نشان داده می شود، بزرگترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی
\[ x \]را برمی گرداند. تابع سقف (Ceiling)
\[ \lceil x \rceil \]کوچکترین عدد صحیح بزرگتر یا مساوی
\[ x \]است. این توابع پله ای و ناپیوسته هستند، اما انتگرال آن ها قابل محاسبه است.
برای انتگرال
\[ \int_a^b \lfloor x \rfloor dx \]، بازه را به زیربازه های
\[ [n, n+1) \]تقسیم می کنیم که در هر کدام
\[ \lfloor x \rfloor = n \](ثابت). پس:
\[ \int_a^b \lfloor x \rfloor dx = \sum_{n = \lfloor a \rfloor}^{\lfloor b \rfloor - 1} n \cdot (\text{طول بازه ای که \lfloor x \rfloor = n }) + \text{قسمت انتهایی} \]به طور مشابه برای
\[ \lceil x \rceil \].
مثال:
\[ \int_0^3 \lfloor x \rfloor dx = \int_0^1 0 dx + \int_1^2 1 dx + \int_2^3 2 dx = 0 + 1 + 2 = 3 \].
این انتگرال ها در مسائل ترکیبیاتی، نظریه اعداد، و برخی مدل های گسسته در فیزیک (مانند مدل های شبکه ای) ظاهر می شوند.
نویسنده علیرضا گلمکانی
شماره کلید 6830
گزینه ها 
نظرات 0 0 0