انتگرال بر روی منیفلد (Integral on Manifolds)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال بر روی منیفلد (Integral on Manifolds) :
انتگرال بر روی منیفلدها (Manifolds) تعمیم انتگرال گیری روی فضاهای اقلیدسی به فضاهای خمیده (منیفلدها) است. این مفهوم در هندسه دیفرانسیل، توپولوژی، و فیزیک نظری (نسبیت عام، نظریه ریسمان) کاربرد دارد.
برای انتگرال گیری یک تابع یا یک فرم دیفرانسیلی روی یک منیفلد، باید ساختار منیفلد را در نظر گرفت. معمولا از المان حجم ناوردا (که با متریک ساخته می شود) یا از انتگرال فرم های دیفرانسیلی استفاده می شود.
برای یک منیفلد
\[ M \]با اطلس مختصاتی، انتگرال یک تابع
\[ f \]به صورت مجموع انتگرال ها روی همسایگی های مختصاتی با استفاده از المان حجم
\[ dV = \sqrt{|g|} dx^1 \cdots dx^n \]تعریف می شود، به شرطی که این تعریف مستقل از انتخاب مختصات باشد (با استفاده از تجزیه واحد).
\[ \int_M f \, dV = \sum_i \int_{\phi_i(U_i)} (\rho_i f) \circ \phi_i^{-1} \, \sqrt{|g|} \, dx^1 \cdots dx^n \]که
\[ \rho_i \]توابع تجزیه واحد هستند.
انتگرال گیری از فرم های دیفرانسیلی (مثلا
\[ \int_M \omega \]) مستقل از متریک است و فقط به ساختار دیفرانسیلی وابسته دارد. این نوع انتگرال در قضیه استوکس تعمیم یافته نقش اساسی دارد.
