انتگرال کانولوشن (Convolution Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال کانولوشن (Convolution Integral) :
کانولوشن (Convolution) یک عملگر ریاضی مهم است که حاصلضرب دو تابع را به صورت یک انتگرال خاص ترکیب می کند. برای دو تابع
\[ f \]و
\[ g \]، کانولوشن آن ها به صورت زیر تعریف می شود:
\[ (f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) d\tau \]برای توابعی که روی بازه های محدود تعریف شده اند، کران های انتگرال متناسب با تکیه گاه توابع تنظیم می شود.
کانولوشن در بسیاری از شاخه های ریاضیات و مهندسی کاربرد دارد:
۱. در پردازش سیگنال، کانولوشن خروجی یک سیستم خطی نامتغیر با زمان (LTI) را بر حسب ورودی و پاسخ ضربه سیستم توصیف می کند.
۲. در نظریه احتمال، توزیع مجموع دو متغیر تصادفی مستقل، کانولوشن توزیع های آن ها است.
۳. در معادلات دیفرانسیل، جواب معادلات خطی با استفاده از کانولوشن و تابع گرین بیان می شود.
۴. در پردازش تصویر، فیلترهای مختلف با کانولوشن تصویر با یک هسته (kernel) اعمال می شوند.
خاصیت مهم کانولوشن: تبدیل فوریه کانولوشن برابر حاصلضرب تبدیل های فوریه است:
\[ \mathcal{F}(f*g) = \mathcal{F}(f) \cdot \mathcal{F}(g) \].
