انتگرال مکرر (Iterated Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال مکرر (Iterated Integral) :
انتگرال مکرر (Iterated Integral) که گاهی با انتگرال تکراری نیز شناخته می شود، به فرآیند محاسبه انتگرال های چندگانه به صورت متوالی گفته می شود. در این روش، ابتدا نسبت به یک متغیر انتگرال می گیریم، سپس نسبت به متغیر بعدی و همین طور تا آخر.
برای یک تابع دو متغیره
\[ f(x,y) \]روی ناحیه
\[ R \]که به صورت
\[ a \le x \le b \]و
\[ c \le y \le d \]باشد، انتگرال مکرر به صورت زیر نوشته می شود:
\[ \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) \, dy \right) dx \quad \text{یا} \quad \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) \, dx \right) dy \]برای نواحی غیرمستطیلی، کران های انتگرال داخلی ممکن است به متغیر بیرونی وابسته باشند. مثلا برای ناحیه ای که با
\[ 0 \le x \le 1 \]و
\[ 0 \le y \le x \]تعریف شده است، انتگرال مکرر به صورت
\[ \int_0^1 \left( \int_0^x f(x,y) dy \right) dx \]است.
قضیه فوبینی (Fubini's theorem) شرایطی را بیان می کند که تحت آن ها انتگرال مکرر با انتگرال دوگانه برابر است. اگر تابع
\[ f \]روی ناحیه
\[ R \]انتگرال پذیر باشد و انتگرال مکرر مطلقا همگرا باشد، آن گاه:
\[ \iint_R f(x,y) dA = \int \int f(x,y) dx dy \].
انتگرال مکرر در محاسبات عددی نیز به کار می رود: ابتدا انتگرال داخلی با روش های عددی (مثل سیمپسون) برای چندین مقدار از متغیر بیرونی محاسبه می شود و سپس انتگرال بیرونی روی این مقادیر اعمال می گردد.
در فیزیک، برای محاسبه کمیت هایی مانند مرکز جرم یا گشتاور اینرسی اجسام با چگالی متغیر، از انتگرال های مکرر استفاده می شود.
