انتگرال فرمی-دیراک (Fermi-Dirac Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال فرمی-دیراک (Fermi-Dirac Integral) :
انتگرال فرمی-دیراک (Fermi-Dirac Integral) در مکانیک آماری کوانتومی برای سیستم های فرمیونی (مانند الکترون ها در فلزات) ظاهر می شود. این انتگرال به صورت زیر تعریف می شود:
\[ F_j(\eta) = \frac{1}{\Gamma(j+1)} \int_0^\infty \frac{t^j}{e^{t-\eta} + 1} dt \]که در آن
\[ \eta = \mu / (k_B T) \]پتانسیل شیمیایی نرمالیزه شده است. این انتگرال برای محاسبه چگالی الکترون ها، انرژی، و سایر کمیت های ترمودینامیکی در گاز فرمی به کار می رود.
برای
\[ j = 1/2 \]، این انتگرال با چگالی حالت های الکترونی در سه بعد مرتبط است. برای
\[ j = 3/2 \]، با انرژی داخلی مرتبط است.
در حد
\[ \eta \to -\infty \](رژیم کلاسیک یا دما بالا)، مخرج
\[ e^{t-\eta} + 1 \approx e^{t-\eta} \]می شود و انتگرال به
\[ e^\eta \Gamma(j+1) \]میل می کند که همان تابع توزیع ماکسول-بولتزمن است.
در حد
\[ \eta \to +\infty \](دمای پایین یا گاز فرمی strongly degenerate)، می توان از بسط سامرفلد (Sommerfeld expansion) استفاده کرد:
\[ F_j(\eta) \approx \frac{\eta^{j+1}}{\Gamma(j+2)} \left( 1 + \frac{\pi^2}{6} j(j+1) \eta^{-2} + ... \right) \].
انتگرال های فرمی-دیراک در فیزیک نیمه هادی ها، اخترفیزیک (کوتوله های سفید)، و فیزیک پلاسما کاربرد دارند.
