انتگرال دبای (Debye Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال دبای (Debye Integral) :
انتگرال دبای (Debye Integral) در فیزیک حالت جامد و نظریه ظرفیت گرمایی جامدات ظاهر می شود. پیتر دبای از این انتگرال برای محاسبه ظرفیت گرمایی مواد بر اساس مدل دبای استفاده کرد.
تابع دبای به صورت زیر تعریف می شود:
\[ D_n(x) = \frac{n}{x^n} \int_0^x \frac{t^n}{e^t - 1} dt \]که معمولا
\[ n = 3 \]برای ظرفیت گرمایی شبکه ای استفاده می شود. در مدل دبای، انرژی درونی یک جامد به صورت
\[ U = 9Nk_B T \left( \frac{T}{\theta_D} \right)^3 \int_0^{\theta_D/T} \frac{t^3}{e^t - 1} dt \]است که
\[ \theta_D \]دمای دبای است.
انتگرال دبای را نمی توان بر حسب توابع ابتدایی بیان کرد. برای دماهای پایین (
\[ x \to \infty \])، انتگرال به مقدار ثابت
\[ \int_0^\infty \frac{t^n}{e^t-1} dt = \Gamma(n+1) \zeta(n+1) \]میل می کند که در آن
\[ \zeta \]تابع زتای ریمان است. برای
\[ n=3 \]، این مقدار
\[ \frac{\pi^4}{15} \]است.
برای دماهای بالا (
\[ x \]کوچک)، می توان از بسط سری استفاده کرد:
\[ D_n(x) \approx 1 - \frac{n}{2(n+1)}x + ... \].
انتگرال های دبای همچنین در نظریه فوتون ها (تابش جسم سیاه) و برخی مسائل مربوط به گازهای بوز ظاهر می شوند.
