انتگرال ماکسول (Maxwell Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال ماکسول (Maxwell Integral) :
انتگرال ماکسول (Maxwell Integral) معمولا به انتگرال هایی اطلاق می شود که در نظریه جنبشی گازها و توزیع ماکسول-بولتزمن برای سرعت مولکول ها ظاهر می شوند. این انتگرال ها برای محاسبه کمیت های ماکروسکوپیک مانند فشار، انرژی داخلی، و تعداد برخوردها از روی تابع توزیع سرعت به کار می روند.
تابع توزیع ماکسول-بولتزمن برای سرعت در گاز ایده ال به صورت زیر است:
\[ f(v) = 4\pi \left( \frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{m v^2}{2 k_B T}} \]که در آن
\[ v \]اندازه سرعت،
\[ m \]جرم مولکول،
\[ k_B \]ثابت بولتزمن و
\[ T \]دما است.
انتگرال های ماکسول معمولا به شکل
\[ \int_0^\infty v^n e^{-a v^2} dv \]هستند. این انتگرال ها با تغییر متغیر
\[ u = v^2 \]به انتگرال های گاما تبدیل می شوند:
\[ \int_0^\infty v^{2n} e^{-a v^2} dv = \frac{1}{2} a^{-(n+1/2)} \Gamma(n+1/2) \] \[ \int_0^\infty v^{2n+1} e^{-a v^2} dv = \frac{n!}{2 a^{n+1}} \]با استفاده از این روابط، می توان میانگین سرعت، سرعت میانگین مربعی، و محتمل ترین سرعت را محاسبه کرد.
مثال: میانگین سرعت
\[ \langle v \rangle = \int_0^\infty v f(v) dv = \sqrt{\frac{8k_B T}{\pi m}} \].
انتگرال ماکسول همچنین در مطالعه رسانش گرمایی، ویسکوزیته، و ضرایب نفوذ در گازها کاربرد دارد.
در الکترومغناطیس، انتگرال های ماکسول ممکن است به انتگرال های مربوط به معادلات ماکسول (مانند محاسبه شار) نیز اشاره داشته باشند، اما کاربرد اصلی در فیزیک آماری است.
